Diện Tích Hình Phẳng Giới Hạn Bởi Đồ Thị Hàm Số

     

Bài viết hướng dẫn cách thức giải bài bác toán áp dụng của tích phân để tính diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi một mặt đường cong và trục hoành.

Bạn đang xem: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ1. Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $.$ diện tích hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = a$, $x = b$ là: $S = int_a^b dx .$2. Học viên cần xem lại phương pháp khử dấu giá trị tuyệt vời và hoàn hảo nhất trong công thức tính diện tích s hình phẳng.3. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành mang lại bởi bí quyết $S = int_alpha ^eta dx $, trong những số ấy $alpha $, $eta $ theo thứ tự là nghiệm nhỏ nhất và lớn nhất của phương trình $f(x) = 0.$

II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌAVí dụ 1: gọi $S$ là diện tích s hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo cánh trong hình vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây đúng?A. $S = int_b^a dx .$B. $S = int_a^b f(x)dx .$C. $S = – int_a^b f(x)dx .$D. $S = – int_b^a f(x)dx .$

Lời giải:Từ thứ thị ta tất cả $f(x) Chọn đáp án C.

Ví dụ 2: gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trang bị thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x=a$, $x=b$ (phần gạch chéo trong mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây sai?A. $S = int_a^b f(x) ight .$B. $S = – int_b^a f(x)dx .$C. $S = left| int_b^a f(x)dx ight|.$D. $S = int_b^a f(x)dx .$

Lời giải:Từ vật thị ta gồm $f(x) > 0$, $forall x in $ nên:$S = int_a^b f(x) ight $ $ = left| int_a^b f(x)dx ight|$ $ = left| – int_b^a f(x)dx ight|$ $ = left| int_b^a f(x)dx ight|.$Suy ra các đáp án A với C đúng.$S = int_a^b f (x)dx$ $ = – int_b^a f (x)dx$, suy ra đáp án B đúng và giải đáp D sai.Chọn lời giải D.

Ví dụ 3: hotline $S$ là diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = f(x)$, trục hoành và hai tuyến đường thẳng $x= a$, $x=b$ (phần gạch chéo cánh trong hình mẫu vẽ bên).

*

Khẳng định nào dưới đây đúng?A. $S = left| int_a^b f (x)dx ight|.$B. $S = int_a^c f (x)dx – int_c^d f (x)dx + int_d^b f (x)dx.$C. $S = int_a^c | f(x)|dx – int_c^d | f(x)|dx + int_d^b | f(x)|dx.$D. $S = left| int_a^c f (x)dx ight| – left| int_c^d f (x)dx ight| + left| int_d^b f (x)dx ight|.$

Lời giải:Từ vật thị ta có: $f(x) ge 0$, $forall x in $; $f(x) le 0$, $forall x in $; $f(x) ge 0$, $forall x in .$Suy ra $S = int_a^b | f(x)|dx$ $ = int_a^c | f(x)|dx$ $ + int_c^d | f(x)|dx$ $ + int_d^b | f(x)|dx.$$ = int_a^c f (x)dx$ $ – int_c^d f (x)dx$ $ + int_d^b f (x)dx.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 4: Tính diện tích $S$ của hình phẳng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = x^2 + 3x$, $Ox$ và hai tuyến phố thẳng $x=1$, $x=2.$A. $S = frac416.$B. $S = frac436.$C. $S = frac476.$D. $S = frac536.$

Lời giải:Cách 1:Ta có: $S = int_1^2 left .$Bảng xét dấu:

*

Suy ra $S = int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx $ $ = left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight|_1^2$ $ = frac416.$Chọn lời giải A.Cách 2:Xét phương trình $x^2 + 3x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0 otin <1;2>\x = – 3 otin <1;2>endarray ight..$Do đó: $S = int_1^2 dx $ $ = left| int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx ight|$ $left| left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight ight|$ $ = frac416.$Cách 3:Vẽ trang bị thị ta được hình phẳng số lượng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = x^2 + 3x$, $Ox$ và hai đường thẳng $x=1$, $x=2$ như hình bên.

*

Do đó: $S = int_1^2 left( x^2 + 3x ight)dx $ $ = left. left( fracx^33 + frac3x^22 ight) ight|_1^2 = frac416.$

Ví dụ 5: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = x^2 – x – 2$ cùng trục hoành bởi $fracab$, với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Xác định nào sau đây đúng?A. $a le b.$B. $a = b^2 + 1.$C. $a > b + 10.$D. $a = b + 7.$

Lời giải:Xét phương trình $x^2 – x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = – 1\x = 2endarray ight..$Do kia $S = int_ – 1^2 dx $ $ = left| int_ – 1^2 left( x^2 – x – 2 ight)dx ight|$ $left| left. left( fracx^33 – fracx^22 – 2x ight) ight ight| = frac92.$Suy ra $a = 9$, $b = 2$ $ Rightarrow a = b + 7.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 6: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = x^3 – x$ với trục hoành bởi $fracab$, cùng với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Tính $I = 2a + 5b.$A. $I = 11.$B. $I = 12.$C. $I = 13.$D. $I = 14.$

Lời giải:Xét phương trình $x^3 – x = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm 1endarray ight..$Do kia $S = int_ – 1^1 left $ $ = left| int_ – 1^0 left( x^3 – x ight)dx ight|$ $ + left| int_0^1 left( x^3 – x ight)dx ight|.$$ = left| _ – 1^0 ight|$ $ + left| left. left( fracx^44 – fracx^22 ight) ight ight|$ $ = frac12.$Suy ra $a = 1$, $b = 2$ $ Rightarrow I = 2a + 5b = 12.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 7: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = 2x^2 – x^4$ với trục hoành bằng $fracabsqrt 2 $ với $fracab$ là phân số buổi tối giản. Tính $T = a – b.$A. $T=-7.$B. $T=1.$C. $T=4.$D. $T = 2.$

Lời giải:Xét phương trình $2x^2 – x^4 = 0$ $ Leftrightarrow left< eginarray*20lx = 0\x = pm sqrt 2 endarray ight..$Do kia $S = int_ – sqrt 2 ^sqrt 2 dx $ $ = left| int_ – sqrt 2 ^0 left( 2x^2 – x^4 ight)dx ight|$ $ + left| int_0^sqrt 2 left( 2x^2 – x^4 ight)dx ight|.$$ = left| _ – sqrt 2 ^0 ight|$ $ + left| left. left( frac2x^33 – fracx^44 ight) ight ight|$ $ = frac16sqrt 2 15.$Suy ra $a = 16$, $b = 15$ $ Rightarrow T = a – b = 1.$Chọn giải đáp B.

Ví dụ 8: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ vật thị hàm số $y = e^x – 2$, trục hoành và đường thẳng $x=1$ bằng $a.e + b + c.ln 2$ với $a$, $b$, $c$ là các số nguyên. Tính $T = 2a^2018 + b + c^2.$A. $T=0.$B. $T=1.$C. $T=2.$D. $T=3.$

Lời giải:Xét phương trình $e^x – 2 = 0$ $ Leftrightarrow x = ln 2.$Do kia $S = int_ln 2^1 left $ $ = left| int_ln 2^1 left( e^x – 2 ight)dx ight|$ $ = left| _ln 2^1 ight|$ $ = e – 4 + 2ln 2.$Suy ra $a = 1$, $b = – 4$, $c = 2$ $ Rightarrow T = 2a^2018 + b + c^2 = 2.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 9: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = sin x + cos x – 2$, trục hoành, trục trung và mặt đường thẳng $x = fracpi 2$ bằng $a + bpi $ với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = 2a + 3b.$A. $T=-4.$B. $T=-1.$C. $T=7.$D. $T =8.$

Lời giải:Ta gồm $y = sin x + cos x – 2 do đó $S = int_0^fracpi 2 | sin x + cos x – 2|dx$ $ = int_0^fracpi 2 (2 – sin x – cos )dx .$$ = left. (2x + cos x – sin x) ight|_0^fracpi 2$ $ = pi – 2.$Suy ra $a = – 2$, $b = 1$ $ Rightarrow T = 2a + 3b = – 1.$Chọn lời giải B.

Ví dụ 10: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = xe^x – e^x$, trục hoành cùng trục tung bởi $a + be$ với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = 5a + b.$A. $T = 11.$B. $T = 7.$C. $T=3.$D. $T=-9.$

Lời giải:Xét phương trình $xe^x – e^x = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Do đó $S = int_0^1 left $ $ = left| int_0^1 (x – 1)e^xdx ight|.$Sử dụng bảng:

*

$ Rightarrow S = left| _0^1 ight|$ $ = e – 2$ $ Rightarrow a = – 2$, $b = 1$ $ Rightarrow T = 5a + b = – 9.$Chọn câu trả lời D.

Ví dụ 11: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi vật thị hàm số $y = xln x$, trục hoành và con đường thẳng $x=2$ bằng $a + bln 2$ với $a$, $b$ là các số hữu tỉ. Tính $T = 2a + b.$A. $T = frac72.$B. $T = frac134.$C. $T = frac194.$D. $T = frac12.$

Lời giải:Xét phương trình $xln x = 0$ $ Leftrightarrow x = 1.$Do kia $S = int_1^2 xln x $ $ = left| int_1^2 xln xdx ight|.$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = xdxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = fracx^22endarray ight..$$S = left| _1^2 – int_1^2 fracx2dx ight|$ $ = left| _1^2 – left. fracx^24 ight ight|$ $ = 2ln 2 – frac34.$Suy ra $a = – frac34$, $b = 2$ $ Rightarrow T = 2a + b = frac12.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 12: Cho diện tích s của hình phẳng giới hạn bởi những đường $x = 1$, $x = e$, $y = 0$, $y = fracln x2sqrt x $ bằng $a + bsqrt e $ với $a$, $b$ là những số nguyên. Điểm $M(a;b)$ là đỉnh của parabol làm sao sau đây?A. $y = frac12x^2 – x.$B. $y = x^2 – 4x + 3.$C. $y = x^2 + x – 7.$D. $y = – x^2 + 2x – 1.$

Lời giải:Ta gồm $y = fracln x2sqrt x ge 0$, $forall x in <1;e>.$Do đó $S = int_1^e fracln x2sqrt x ight $ $ = int_1^e fracln x2sqrt x dx .$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = frac12sqrt x dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = frac1xdx\v = sqrt x endarray ight..$$S = left. sqrt x ln x ight|_1^e – int_1^e frac1sqrt x dx $ $ = left. sqrt x ln x ight|_1^e – left. 2sqrt x ight|_1^e$ $ = 2 – sqrt e .$Suy ra $a = 2$, $b = – 1$ $ Rightarrow M(2; – 1).$Suy ra $M(2; – 1)$ là đỉnh của parabol $y = x^2 – 4x + 3.$Chọn câu trả lời B.

Ví dụ 13: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = x(2 + sin x)$, trục hoành và con đường thẳng $x = fracpi 2$ bằng $a + fracpi ^2b$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = a^2 – 2b.$A. $T = 14.$B. $T = – frac3116.$C. $T = – 7.$D. $T = frac78.$

Lời giải:Xét phương trình $x(2 + sin x) = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do đó $S = int_0^fracpi 2 $ $ = int_0^fracpi 2 x (2 + sin x)dx$ (vì $x(2 + sin x) ge 0$, $forall x in left< 0;fracpi 2 ight>$).Đặt $left{ eginarray*20lu = x\dv = (2 + sin x)dxendarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = dx\v = 2x – cos xendarray ight..$$S = left. X(2x – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ – int_0^fracpi 2 (2x – cos x)dx .$$ = left. X(2x – cos x) ight|_0^fracpi 2$ $ – left. left( x^2 + sin x ight) ight|_0^fracpi 2$ $ = fracpi ^24 + 1.$Suy ra $a = 1$, $b = 4$ $ Rightarrow T = a^2 – 2b = – 7.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 14: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ gia dụng thị hàm số $y = 1 – sin x$, trục hoành và hai đường thẳng $x = 0$, $x = frac7pi 6$ bằng $a + fracsqrt 3 b + fraccdpi $ với $a$, $b$ là các số nguyên, $fraccd$ là phân số về tối giản. Tính $T = a + b + c + d.$A. $T=16.$B. $T = 10.$C. $T = frac232.$D. $T = 18.$

Lời giải:Ta bao gồm $y = 1 – sin x ge 0$, $forall x in left< 0;frac7pi 6 ight>.$Do đó $S = int_0^frac7pi 6 | 1 – sin x|dx$ $ = int_0^frac7pi 6 (1 – sin x)dx $ $ = left. (x + cos x) ight|_0^frac7pi 6$ $ = frac7pi 6 – fracsqrt 3 2 – 1.$Suy ra $a = – 1$, $b = – 2$, $c = 7$, $d = 6$ $ Rightarrow T = a + b + c + d = 10.$Chọn lời giải B.

Xem thêm: Lời Bài Thơ Qua Đèo Ngang Chế Hay Nhất, Chế Thơ Qua Đèo Ngang

Ví dụ 15: Cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi thiết bị thị hàm số $y = an ^2x$, trục hoành, trục tung và mặt đường thẳng $x = fracpi 6$ bằng $fracsqrt 3 a + fracpi b$ với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = a^2 – b.$A. $T=3.$B. $T = 33.$C. $T = 39.$D. $T=15.$

Lời giải:Ta bao gồm $S = int_0^fracpi 6 left $ $ = int_0^fracpi 6 an ^2 xdx$ $ = int_0^fracpi 6 left( frac1cos ^2x – 1 ight)dx $ $ = left. ( an x – x) ight|_0^fracpi 6$ $ = fracsqrt 3 3 – fracpi 6.$Suy ra $a = 3$, $b = – 6$ $ Rightarrow T = a^2 – b = 15.$Chọn lời giải D.

Ví dụ 16: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = xsqrt 1 + x^2 $, trục hoành và đường thẳng $x = sqrt 3 $ bằng $fracab$ cùng với $fracab$ là phân số tối giản. Điểm $M(a;b)$ ở trong miền nghiệm của bất phương trình như thế nào sau đây?A. $x + y > 9.$B. $2x + y C. $x + 2y D. $x + 5y > 25.$

Lời giải:Xét phương trình $xsqrt 1 + x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Do kia $S = int_0^sqrt 3 dx $ $ = int_0^sqrt 3 x sqrt 1 + x^2 dx.$Đặt $t = sqrt 1 + x^2 $ $ Rightarrow t^2 = 1 + x^2$ $ Rightarrow xdx = tdt.$Đổi cận:

*

Suy ra $S = int_1^2 t^2 dt$ $ = left. fract^33 ight|_1^2 = frac73$ $ Rightarrow a = 7$, $b = 3$ $ Rightarrow M(7;3).$Ta tất cả $7 + 3 > 9$ suy ra điểm $M(7;3)$ ở trong miền nghiệm bất phương trình $x + y > 9.$Chọn câu trả lời A.

Ví dụ 17: Tính diện tích s $S$ của hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^2 – 2x + m$ $(m ge 1)$, trục hoành và các đường trực tiếp $x = 0$, $x = 2.$A. $S = 2m + frac23.$B. $S = 2m – frac23.$C. $S = 2m – frac43.$D. $S = 2m + frac43.$

Lời giải:Ta có $y = x^2 – 2x + m$ $ = (x – 1)^2 + m – 1 ge 0$, $forall m ge 1$, $forall x in <0;2>.$Do đó $S = int_0^2 x^2 – 2x + m ight $ $ = int_0^2 left( x^2 – 2x + m ight)dx .$$ = left. left( fracx^33 – x^2 + mx ight) ight|_0^2$ $ = 2m – frac43.$Chọn giải đáp C.

Ví dụ 18: Tính diện tích s $S$ của hình phẳng giới hạn bởi vật dụng thị hàm số $y = x^2 – 9$, trục hoành, trục tung và đường thẳng $x = m$ $(m > 3).$A. $S = fracm^33 – 9m.$B. $S = fracm^33 – 9m + 36.$C. $S = fracm^33 + 9m + 36.$D. $S = fracm^33 – 9m + 18.$

Lời giải:Ta có: $S = int_0^m dx .$Bảng xét dấu:

*

Do kia $S = – int_0^3 left( x^2 – 9 ight)dx $ $ + int_3^m left( x^2 – 9 ight)dx .$$ = – left. left( fracx^33 – 9x ight) ight|_0^3$ $ + left. left( fracx^33 – 9x ight) ight|_3^m$ $ = fracm^33 – 9m + 36.$Chọn đáp án B.

Ví dụ 19: cho hình thang cong $(H)$ số lượng giới hạn bởi những đường $y = e^x$, $y = 0$, $x = 0$, $x = ln 4.$ Đường trực tiếp $x = k$ $(0 A. $k = frac23ln 4.$B. $k = ln 2.$C. $k = ln frac83.$D. $k = ln 3.$

Lời giải:Từ trang bị thị ta có:$S_1 = int_0^k e^x dx$ $ = left. E^x ight|_0^k$ $ = e^k – 1.$$S_2 = int_k^ln 4 e^x dx$ $ = left. E^x ight|_k^ln 4$ $ = 4 – e^k.$Khi đó $S_1 = 2S_2$ $ Rightarrow e^k – 1 = 8 – 2e^k$ $ Leftrightarrow k = ln 3.$Chọn đáp án D.

Ví dụ 20: đến hàm số $y = x^4 – 3x^2 + m$ có đồ thị $left( C_m ight)$ với $m$ là thông số thực. đưa sử $left( C_m ight)$ cắt trục $Ox$ tại tứ điểm biệt lập như hình vẽ bên. Gọi $S_1$, $S_2$ với $S_3$ là diện tích các miền gạch chéo cánh được mang đến trên hình vẽ.

*

Tìm $m$ để $S_1 + S_2 = S_3.$A. $m = – frac52.$B. $m = – frac54.$C. $m = frac52.$D. $m = frac54.$

Lời giải:Gọi $x = a$, $x = b$ $(a vì thế $b^4 – 3b^2 + m = 0$ $(1).$Ta bao gồm $S_1 + S_2 = S_3$, phối hợp đồ thị $ Rightarrow frac12S_3 = S_2.$$int_0^a left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx $ $ = – int_a^b left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx .$$ Leftrightarrow int_0^b left( x^4 – 3x^2 + m ight)dx = 0.$$left. Leftrightarrow left( fracx^55 – x^3 + mx ight) ight|_0^b = 0.$$ Leftrightarrow fracb^55 – b^3 + mb = 0$ $ Rightarrow fracb^45 – b^2 + m = 0$ $(2)$ (vì $b>0$).Từ $(1)$ với $(2)$, trừ vế theo vế ta được $frac45b^4 – 2b^2 = 0$ $ Rightarrow b^2 = frac52$ (vì $b > 0$).Thay $b^2 = frac52$ vào $(1)$ ta được $m = frac54.$Chọn giải đáp D.

III. LUYỆN TẬP1. ĐỀ BÀICâu 1: cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên đoạn $.$ diện tích hình phẳng giới hạn bởi mặt đường cong $y = f(x)$, trục hoành, các đường trực tiếp $x = a$, $x = b$ là:A. $int_b^a f (x)dx.$B. $int_a^b | f(x)|dx.$C. $int_a^b f (x)dx.$D. $pi int_a^b f^2 (x)dx.$

Câu 2: diện tích s hình phẳng giới hạn bởi thứ thị hàm số $y = 4x – x^3$, trục hoành, trục tung và con đường thẳng $x=4$ bằng:A. $48.$B. $44.$C. $40.$D. $36.$

Câu 3: Cho diện tích s hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = frac – 3x – 1x – 1$ cùng hai trục tọa độ bởi $4ln fracab + c$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên dương, $fracab$ là phân số buổi tối giản, $c$ là số nguyên. Tính $T = a + b + c.$A. $T=5.$B. $T=6.$C. $T=7.$D. $T=8.$

Câu 4: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi con đường cong $y = fracln xx^2$, trục $Ox$ và hai tuyến đường thẳng $x = 1$, $x = e$ bởi $a + fracbe$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên. Tính $T = log _2(14a – b).$A. $T=1.$B. $T=2.$C. $T=3.$D. $T=4.$

Câu 5: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = 1 – x^2$, $y = 0$ bằng $fracab$ cùng với $a$, $b$ là các số nguyên dương cùng $fracab$ là phân số về tối giản. Tính $T= 2a+b.$A. $T=10.$B. $T=11.$C. $T=13.$D. $T=15.$

Câu 6: Hình phẳng số lượng giới hạn bởi các đường $y = 3x^3 + 2x$, $y = 0$, $x = a$ $(a > 0)$ có diện tích bằng $frac74$ thì cực hiếm của $a$ bằng:A. $1.$B. $fracsqrt 7 2.$C. $2.$D. $3.$

Câu 7: Cho diện tích s hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = xe^x$, $y = 0$, $x = – 1$, $x = 2$ bởi $e^2 + fracae + b$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên. Tính $T = a + 2b.$A. $T=-4.$B. $T=-2.$C. $T=2.$D. $T=4.$

Câu 8: Hình phẳng số lượng giới hạn bởi những đường $y = 0$, $y = x^2 – 2x$, $x = – 1$, $x = 2$ có diện tích s được tính theo công thức:A. $S = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ – int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$B. $S = – int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$C. $S = int_ – 1^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$D. $S = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx $ $ + int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx. $

Câu 9: Cho diện tích hình phẳng số lượng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^4 + 3x^2 + 1$, trục hoành và hai tuyến phố thẳng $x = 0$, $x = 1$ bởi $fracab$ cùng với $a$, $b$ là những số nguyên với $fracab$ là phân số tối giản. Tính $T = 2a – b.$A. $T = 17.$B. $T=-1.$C. $T=-17.$D. $T=1.$

Câu 10: hình vuông vắn $OABC$ gồm cạnh bởi $4$ được tạo thành hai phần vì đường cong $(C)$ có phương trình $y = frac14x^2.$ gọi $S_1$, $S_2$ là diện tích s của phần không biến thành gạch và phần bị gạch (như hình vẽ).

*

Tính tỉ số $fracS_1S_2.$A. $fracS_1S_2 = frac32.$B. $fracS_1S_2 = frac12.$C. $fracS_1S_2 = 2.$D. $fracS_1S_2 = 1.$

2. BẢNG ĐÁP ÁN

Câu12345
Đáp ánBCBDB
Câu678910
Đáp ánACAAC

3. HƯỚNG DẪN GIẢICâu 1: Áp dụng cách làm tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường cong $y = f(x)$, trục hoành, các đường thẳng $x=a$, $x = b$ là: $S = int_a^b | f(x)|dx.$Chọn giải đáp B.

Câu 2: diện tích s hình phẳng:$S = int_0^4 4x – x^3 ight $ $ = left| int_0^2 left( 4x – x^3 ight)dx ight|$ $ + left| int_2^4 left( 4x – x^3 ight)dx ight|$ $ = 40.$Chọn lời giải C.

Câu 3: Phương trình hoành độ giao điểm: $frac – 3x – 1x – 1 = 0$ $ Leftrightarrow x = frac – 13.$Diện tích hình phẳng $S = left| int_ – frac13^0 frac – 3x – 1x – 1dx ight|$ $ = left| int_ – frac13^0 left( – 3 – frac4x – 1 ight)dx ight|.$$ = left| left. ) ight ight|$ $ = left| – 1 + 4ln frac43 ight|$ $ = 4ln frac43 – 1.$Suy ra $a = 4$, $b = 3$, $c = – 1$ $ Rightarrow T = a + b + c = 6.$Chọn lời giải B.

Câu 4: diện tích hình phẳng:$S = int_1^e fracln xx^2 ight $ $ = int_1^e fracln xx^2dx .$Đặt $left{ eginarray*20lu = ln x\dv = fracdxx^2endarray ight.$ $ Rightarrow left{ eginarray*20ldu = fracdxx\v = – frac1xendarray ight..$$S = – left. fracln xx ight|_1^e$ $ + int_1^e fracdxx^2 $ $ = – frac1e – left. frac1x ight|_1^e$ $ = 1 – frac2e$ $ Rightarrow a = 1$, $b = – 2$ $ Rightarrow T = log _2(14a – b) = 4.$Chọn đáp án D.

Câu 5: Phương trình hoành độ giao điểm: $1 – x^2 = 0$ $ Leftrightarrow x = pm 1.$Diện tích $S = int_ – 1^1 1 – x^2 ight = frac43$ $ Rightarrow a = 4$, $b = 3$ $ Rightarrow T = 2a + b = 11.$Chọn lời giải B.

Câu 6: Phương trình hoành độ giao điểm: $3x^3 + 2x = 0$ $ Leftrightarrow x = 0.$Diện tích hình phẳng là $S = left| int_0^a left( 3x^3 + 2x ight)dx ight|$ $ = left| _0^a ight|$ $ = frac3a^44 + a^2.$$S = frac74$ $ Rightarrow frac3a^44 + a^2 = frac74$ $ Leftrightarrow a^2 = 1$ $ Rightarrow a = 1.$Chọn lời giải A.

Câu 7: diện tích $S = int_ – 1^2 dx $ $ = – int_ – 1^0 x e^xdx + int_0^2 x e^xdx.$Sử dụng bảng:

*

Suy ra $S = – left. left( xe^x – e^x ight) ight|_ – 1^0$ $ + left. left( xe^x – e^x ight) ight|_0^2$ $ = e^2 – frac2e + 2$ $ Rightarrow a = – 2$, $b = 2$ $ Rightarrow T = a + 2b = 2.$Chọn đáp án C.

Câu 8: $S = int_ – 1^2 dx $ $ = int_ – 1^0 x^2 – 2x ight + int_0^2 x^2 – 2x ight .$$ = int_ – 1^0 left( x^2 – 2x ight)dx – int_0^2 left( x^2 – 2x ight)dx .$Chọn giải đáp A.

Câu 9: $S = int_0^1 dx = frac115$ $ Rightarrow a = 11$, $b = 5$$ Rightarrow S = 2a – b = 17.$Chọn câu trả lời A.

Xem thêm: Trường Thcs Võ Thị Sáu Hải Dương, Trung Học Cơ Sở Võ Thị Sáu

Câu 10: Ta có:$S_2 = int_0^4 left( frac14x^2 ight)dx $ $ = left. fracx^312 ight|_0^4 = frac163.$$S_1 = S_OABC – S_2$ $ = 16 – frac163 = frac323$ $ Rightarrow fracS_1S_2 = 2.$Chọn lời giải C.